Thực đơn
Số phức Một số khái niệm quan trọng trong trường số phứcTrong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo ı {\displaystyle \imath } đặc trưng bởi biểu thức
i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:
z = a + i b {\displaystyle z=a+ib}trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.
Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý rằng i2 = –1. Như vậy, ta có:
( a + i b ) + ( c + i d ) = ( a + c ) + i ( b + d ) {\displaystyle (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)} ( a + i b ) − ( c + i d ) = ( a − c ) + i ( b − d ) {\displaystyle (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)} ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + i ( a d + b c ) {\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)} a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c − d i ) ( c + d i ) ( c − d i ) = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}Trong hệ toạ độ Descartes, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức
z = x + i y . {\displaystyle z=x+iy.}Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức.
Mỗi số thực a {\displaystyle a} được xem là một số phức có b = 0 {\displaystyle b=0} .
Ta có: R {\displaystyle \mathbb {R} } ⊂ {\displaystyle \subset } C {\displaystyle \mathbb {C} }
Nếu a = 0 {\displaystyle a=0} , số phức b i {\displaystyle bi} được gọi là thuần ảo.
Cho số phức dưới dạng đại số Z = a + b i {\displaystyle Z=a+bi\,} , số phức Z ¯ = a − b i {\displaystyle {\overline {Z}}=a-bi} được gọi là số phức liên hợp của z.
Một số tính chất của số phức liên hợp:
arg ( z 1 ∗ z 2 ) = arg ( z 1 ) + arg ( z 2 ) , {\displaystyle \arg(z_{1}*z_{2})=\arg(z_{1})+\arg(z_{2}),}
arg z 1 z 2 = arg ( z 1 ) − arg ( z 2 ) , arg ( z n ) = n arg ( z ) {\displaystyle \arg {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\arg(z_{1})-\arg(z_{2}),\ \arg(z^{n})=n\,\arg(z)\,}Số phức z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} có thể viết dưới dạng
z = a + b i = a 2 + b 2 ( a a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 ⋅ i ) {\displaystyle z=a+bi={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cdot i\right)}Khi đặt
r = | z | , φ = arg ( z ) {\displaystyle r=|z|,\varphi =\arg(z)} ,ta có
z = r ( c o s φ + i s i n φ ) {\displaystyle z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )}Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức z {\displaystyle z} .
Cho hai số phức dưới dạng lượng giác
z = r ( cos φ + i sin φ ) {\displaystyle z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)} z ′ = r ′ ( cos φ ′ + i sin φ ′ ) {\displaystyle z'=r'\left(\cos \varphi '+i\sin \varphi '\right)}Khi đó
z ⋅ z ′ = r r ′ ( cos ( φ + φ ′ ) + i sin ( φ + φ ′ ) ) {\displaystyle z\cdot z'=rr'\left(\cos \left(\varphi +\varphi '\right)+i\sin \left(\varphi +\varphi '\right)\right)} z z ′ = r r ′ [ cos ( φ − φ ′ ) + i sin ( φ − φ ′ ) {\displaystyle {\frac {z}{z'}}={\frac {r}{r'}}\left[\cos(\varphi -{\varphi }'\right)+i\sin \left(\varphi -{\varphi }'\right)}Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng
ω k = r n ( cos ψ k + i sin ψ k ) {\displaystyle {\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\psi }_{k}+i\sin {\psi }_{k}\right)}trong đó ψ k = φ + k 2 π n {\displaystyle {\psi }_{k}={\frac {\varphi +k\,2\,\pi }{n}}} , k = 0 , 1 , . . . n − 1 {\displaystyle k=0,1,...n-1}
Thực đơn
Số phức Một số khái niệm quan trọng trong trường số phứcLiên quan
Số Số nguyên tố Số tự nhiên Số thực Số hữu tỉ Số nguyên Số người thiệt mạng trong thảm sát Nam Kinh Số phức Số phận sau cùng của vũ trụ Số họcTài liệu tham khảo
WikiPedia: Số phức http://www.britannica.com/EBchecked/topic/129992 http://books.google.com/?id=g5j-cT-vg_wC http://books.google.com/books?id=g5j-cT-vg_wC&pg=P... http://books.google.de/books?id=etTbP0rItQ4C&print... http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85093211 http://d-nb.info/gnd/4128698-4 http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00563643 https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Comple...